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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
g) $f(x)=x \ln ^{2} x$
g) $f(x)=x \ln ^{2} x$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $(0,+\infty)$
2) Derivamos $f(x)$
$f'(x) = \ln^2(x) + x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x)$
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$\ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x) = 0$
Saco factor común $\ln(x)$
$\ln(x) \cdot (\ln(x) + 2) = 0$
Esta multiplicación puede ser cero si:
✅ $\ln(x) = 0 \rightarrow x = 1$
✅ $\ln(x) + 2 = 0$
Despejamos:
$\ln(x) = -2$
$x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$
Por lo tanto, los puntos críticos de $f$ son $x=1$ y $x = e^{-2}$
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
- \( (0, e^{-2}) \)
- \( (e^{-2}, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En \( (0, e^{-2}) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
En \( (e^{-2}, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
Recapitulando entonces,
Intervalo de crecimiento: $(0, e^{-2}) \cup (1, +\infty)$
Intervalo de decrecimiento: $(e^{-2}, 1)$